Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm， BC=16cm，DE=4cm．线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm／s的速度向点C运动，当端点E到达点C时停止运动．过点E作EF∥AC交AB于点F，连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）在运动过程中，△DEF能否为以DE为腰的等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能， 试说明理由．
（2）以E为圆心，EF长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙E与边AC有1个公共点？
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，请直接写出在整个运动过程中，线段MN所扫过的图形的面积．

Answer 1

（1）t=或；（2）＜；（3）cm²

试题分析：（1）分与两种情况结合相似三角形的性质分析即可；
（2）根据切线的性质分⊙E与边AC相切、EF=EA、EF=EC这三中情况分析即可；
（3）根据线段MN运动的特征结合相应的面积公式即可求得结果.
（1）
分两种情况讨论：
当时，，解得：
当时，有
∴△DEF∽△ABC
∴，即，解得：.
综上所述，当t=或秒时，△为等腰三角形；
（2）⊙E与边AC相切时，t=  
EF=EA时，
EF=EC时，
所以当＜时，⊙E与边AC有1个公共点；
（3）整个运动过程中，MN所扫过的图形的面积为cm².
点评：圆的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.