Question

13．如图，直线y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为a，tana=$\frac{1}{2}$．
（1）求k的值及点B坐标．
（2）设点P是x轴上一动点．则当△PAB的面积为2时，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，a）代入y=2x，求出a=2，再把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值；过B作BC⊥x轴于点C．在Rt△BOC中，由tanα=$\frac{1}{2}$，可设B（2h，h）．将B（2h，h）代入y=$\frac{2}{x}$，求出h的值，即可得到点B的坐标；
（2）由A（1，2），B（2，1），利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+3，那么直线AB与x轴交点D的坐标为（3，0）．设点P的坐标为（m，0），根据△PAB的面积为2列出方程$\frac{1}{2}$|3-m|×（2-1）=2，解方程即可求出m的值，可得P的坐标．

解答 解：（1）把点A（1，a）代入y=2x，
得a=2，
则A（1，2）．
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=1×2=2；
过B作BC⊥x轴于点C．
∵在Rt△BOC中，tanα=$\frac{1}{2}$，
∴可设B（2h，h）．
∵B（2h，h）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴2h²=2，解得h=±1，
∵h＞0，∴h=1，
∴B（2，1）；

（2））∵A（1，2），B（2，1），
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
设直线AB与x轴交于点D，则D（3，0）．
∵S_△PAB=S_△PAD-S_△PBD=2，
设点P的坐标为（m，0），
∴$\frac{1}{2}$|3-m|×（2-1）=2，
解得m₁=-1，m₂=7，
∴P点的坐标为（-1，0）或（7，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，正切函数的定义，三角形的面积，难度适中，利用数形结合是解题的关键．