Question

11．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB的值最小．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式；
（2）求出B点坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，根据待定系数法，即可得出一次函数的解析式；
（3）求出点A的关于x轴的对称点坐标A′，然后将A′B的解析式求出，令y=0代入AC的解析式即可求出P的坐标．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{m}{x}$（m≠0），
∵点A（1，4）在反比例函数的图象上，
∴m=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{4}{x}$；
（2）∵点B（4，n）也在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴n=$\frac{4}{4}$=1，即B（4，1），
把点A（1，4），点B（4，1）代入一次函数y=kx+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=-x+5；
（3）∵A′与A关于x轴对称，
∴A′（1，-4），
设直线A′B的解析式为：y=ax+b，
将A′（1，-4）和B（4，1）代入y=ax+b，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=-\frac{17}{3}}\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为：y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{17}{3}$，
令y=0代入y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{17}{3}$，解得x=$\frac{17}{5}$，
∴P（$\frac{17}{5}$，0）．

点评 本题考查了轴对称的性质，用待定系数法求函数的图象，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．