Question

12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AC上，EF∥BC交AB于F，且DF平分∠BDE，DG⊥DF交FE的延长线于G．
（1）若∠FED=20°，求∠BDF的度数；
（2）求证：DG平分∠EDC；
（3）请探索∠FED与∠FDA的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由EF∥BC，得到∠EDC=∠FED=20°，根据平角的定义得到∠BDE=180°-20°=160°，根据DF平分∠BDE，即可得到结论；
（2）由∠BDF=∠EDF，然后根据∠BDF+∠CDG=∠FDE+∠EDG=90°，根据余角的性质即可得到结果；
（3）∠FDA=$\frac{1}{2}∠$FED．理由：由∠ADE=90°-∠FED，由（2）证得∠EDG=$\frac{1}{2}$∠EDC=$\frac{1}{2}∠$FED，于是得到∠FDA+∠ADE+∠EDG=∠FDA+90°-∠FED+$\frac{1}{2}$∠FED=90°，即可得到结论；

解答 解：（1）∵EF∥BC，
∴∠EDC=∠FED=20°，
∴∠BDE=180°-20°=160°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDF=$\frac{1}{2}$∠BDE=80°；

（2）∵DF平分∠BDE，
∴∠BDF=∠EDF，
∵DF⊥DG，
∴∠BDF+∠CDG=∠FDE+∠EDG=90°，
∴∠EDG=∠CDG，
∴DG平分∠EDC；

（3）∠FDA=$\frac{1}{2}∠$FED．
理由：∵AD⊥BC，EF∥BC，
∴AD⊥EF，
∴∠FED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=90°-∠FED，
由（2）证得∠EDG=$\frac{1}{2}$∠EDC=$\frac{1}{2}∠$FED，
∴∠FDA+∠ADE+∠EDG=∠FDA+90°-∠FED+$\frac{1}{2}$∠FED=90°，
∴∠FDA=$\frac{1}{2}∠$FED．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．