Question

如图，抛物线与x轴交于A(x₁，0)、B(x₂，0)两点，且x₁＜x₂，与y轴交于点C(0，－4)，其中x₁，x₂是方程x²－4x－12＝0的两个根．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

(3)点D(4，k)在(1)中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵，∴，． 　　∴，．　1分 　　又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得． 　　∴抛物线的解析式为．　3分 　　(2)设点的坐标为(，0)，过点作轴于点(如图(1))． 　　∵点的坐标为(，0)，点的坐标为(6，0)， 　　∴，．　4分 　　∵，∴． 　　∴，∴，∴．　5分 　　∴ 　　　6分 　　． 　　∴当时，有最大值4． 　　此时，点的坐标为(2，0)．　7分 　　(3)∵点(4，)在抛物线上， 　　∴当时，， 　　∴点的坐标是(4，)． 　　①如图(2)，当为平行四边形的边时，， 　　∵(4，)，∴错误！链接无效．． 　　∴，．　9分 　　②如图(3)，当为平行四边形的对角线时，设， 　　则平行四边形的对称中心为(，0)．　10分 　　∴的坐标为(，4)． 　　把(，4)代入，得． 　　解得． 　　，．　12分