Question

如图，抛物线与y轴交于点A（0，4），与x轴交于B、C两点．其中OB、OC是方程的x²-10x+16=0两根，且OB＜OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AC上是否存在点D，使△BCD为直角三角形．若存在，求所有D点坐标；反之说理；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点（A点除外），连PA、PC，若设△PAC的面积为S，P点横坐标为t，则S在何范围内时，相应的点P有且只有1个．

Answer 1

分析：（1）先求出B、C两点坐标，再将A、B、C三点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（2）根据待定系数法求出直线AC的解析式，再分两种情况讨论即可求解；
（3）分别求出P在抛物线AC上面积的最大值，求出P在抛物线AB上面积的最大值，依此即可求出S的取值范围．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0，
得x₁=2，x₂=8，
则B（-2，0），C（8，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入抛物线得，

c=4 4a-2b+c=0 64a+8b+c=0

，
解得

a=- 1 4 b=1 1 2 c=4

故抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A、C两点坐标代入得，

b=4 8k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=4

故直线AC的解析式为y=-

1

2

x+4；
直线AC上存在点D，使△BCD为直角三角形：
①∠DBC=90°时，x=-2，y=-

1

2

×（-2）+4=5，则D点坐标为（-2，5）；
②∠BDC=90°时，设直线BD的解析式为y=2x+b₁，则2×（-2）+b₁=0，解得b₁=4，故直线AC的解析式为y=2x+4；
联立两条直线的解析式

y=- 1 2 x+4 y=2x+4

，解得

x=0 y=4

，则D点坐标为（0，4）；
综上所述D点坐标为（-2，5）或（0，4）；

（3）P在抛物线AC上面积的最大值为16，P在抛物线AB上面积的最大值为20，
则S的取值范围为16＜S＜20．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数和抛物线的解析式等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练．