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精英家教网如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<x2,与y轴交于点C(0,-4),其中x1,x2是方程x2-4x-12=0的两个根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;
(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据一元二次方程解法得出A,B两点的坐标,再利用交点式求出二次函数解析式;
(2)首先判定△MNA∽△BCA.得出
NH
CO
=
AM
AB
,进而得出函数的最值;
(3)分别根据当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时,分析得出符合要求的答案.
解答:精英家教网解:(1)∵x2-4x-12=0,
∴x1=-2,x2=6.
∴A(-2,0),B(6,0),
又∵抛物线过点A、B、C,故设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-6),
将点C的坐标代入,求得a=
1
3

∴抛物线的解析式为y=
1
3
x2-
4
3
x-4


(2)设点M的坐标为(m,0),过点N作NH⊥x轴于点H(如图(1)).
∵点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(6,0),精英家教网
∴AB=8,AM=m+2,
∵MN∥BC,∴△MNA∽△BCA.
NH
CO
=
AM
AB

NH
4
=
m+2
8

NH=
m+2
2

S△CMN=S△ACM-S△AMN=
1
2
•AM•CO-
1
2
AM•NH

=
1
2
(m+2)(4-
m+2
2
)=-
1
4
m2+m+3

=-
1
4
(m-2)2+4

∴当m=2时,S△CMN有最大值4.
此时,点M的坐标为(2,0);

(3)∵点D(4,k)在抛物线y=
1
3
x2-
4
3
x-4
上,精英家教网
∴当x=4时,k=-4,
∴点D的坐标是(4,-4).
①如图(2),当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE,
∵D(4,-4),∴DE=4.
∴F1(-6,0),F2(2,0),
②如图(3),当AF为平行四边形的对角线时,设F(n,0),
∵点A的坐标为(-2,0),
则平行四边形的对称中心的横坐标为:
n+(-2)
2

∴平行四边形的对称中心坐标为(
n-2
2
,0),
∵D(4,-4),
∴E'的横坐标为:
n-2
2
-4+
n-2
2
=n-6,
E'的纵坐标为:4,
∴E'的坐标为(n-6,4).
把E'(n-6,4)代入y=
1
3
x2-
4
3
x-4
,得n2-16n+36=0.
解得n=8±2
7
F3(8-2
7
,0)
F4(8+2
7
,0)

综上所述F1(-6,0),F2(2,0),F3(8-2
7
,0),F4(8+2
7
,0).
点评:此题主要考查了二次函数的综合应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型,特别注意利用数形结合是这部分考查的重点,也是难点,同学们应重点掌握.
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