Question

6．定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD如图，AB=6cm，BC=4cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与⊙K的距离为（2$\sqrt{5}$-2）cm．

Answer 1

分析 连结KF、KE、KG、AK，AK交⊙O于M，如图，根据切线的性质得KE⊥AB，KF⊥BC，KG⊥CD，则可证明四边形BCGE为矩形得到EG=BC=4，再证明四边形BFKE为正方形得到BE=KF=2，所以AE=AB-BE=4，于是可根据勾股定理计算出AK=2$\sqrt{5}$，则AM=AK-KM=2$\sqrt{5}$-2，然后根据新定义即可得到点A与⊙K的距离．

解答 解：连结KF、KE、KG、AK，AK交⊙O于M，如图，
∵⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，
∴KE⊥AB，KF⊥BC，KG⊥CD，
∵AB∥CD，
∴K、E、G三点共线，即EG为⊙O的直径，
∴四边形BCGE为矩形，
∴EG=BC=4，
∵KE=KF=2，
∴四边形BFKE为正方形，
∴BE=KF=2，
∴AE=AB-BE=6-2=4，
在Rt△AEK中，AK=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AM=AK-KM=2$\sqrt{5}$-2，
∴点A与⊙K的距离为（2$\sqrt{5}$-2）cm．
故答案为（2$\sqrt{5}$-2）cm．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了新定义和矩形的性质．