Question

23、如图，BD是?ABCD的对角线，点E、F在BD上，且BE=DF．求证：四边形AECF为平行四边形．

Answer 1

分析：此题的证明可用两种方法：
方法一：连接AC交BD于O，因为?ABCD，所以OA=OC，OB=OD，又BE=DF，所以OE=OF，根据平行四边形的判定可知：四边形AECF为平行四边形
方法二：根据?ABCD知：∴∠ABE=∠CDF，AB=DC，又BE=DF，可证：△ABE≌△CDF
从而得出AE=CF，而∠ABE=∠CDF，所以AE∥CF，故四边形AECF为平行四边形

解答：证明一：
连接AC交BD于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，
∴OA=OC，OE=OF．
∴AECF是平行四边形．
证明二：
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中AB=CD，∠ABE=∠CDF，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF．
∴AE=CF，∠ABE=∠CDF．
∴AE∥CF．
∴AECF是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．