Question

2．如图，在△ABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补．
（1）如图1，若AB=AC，D为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；
（2）如图2，若AB=kAC，D为BC的中点时，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由；
（3）如图3，若$\frac{AB}{AC}$=a，且$\frac{BD}{CD}$=b，直接写出$\frac{DE}{DF}$=$\frac{b}{a}$．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，只要证明△DEM≌△DFN即可．
（2）结论DE：DF=1：k．如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，由$\frac{1}{2}$•AB•DM=$\frac{1}{2}$•AC•DN，AB=kAC，推出DN=kDM，再证明
△DME∽△DNF，即可．
（3）结论DE：DF=1：k．如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同（2）可证∠EDM=∠FDN，由$\frac{1}{2}$•AB•DM：$\frac{1}{2}$•AC•DN=b，AB：AC=a，推出DM：DN=$\frac{b}{a}$，再证明△DEM∽△DFN即可．

解答 解：（1）结论：DF=DE，
理由：如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，


∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵在四边形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，
∴∠MAN+∠MDN=180°，
又∵∠EDF与∠MAN互补，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠EDM=∠FDN，
在△DEM与△DFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠DNF}\\{∠EDM=∠FDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DFN，
∴DE=DF．

（2）结论DE：DF=1：k．
理由：如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，

∵BD=DC，
∴S_△ABD=S_△ADC，
∴$\frac{1}{2}$•AB•DM=$\frac{1}{2}$•AC•DN，∵AB=kAC，
∴DN=kDM，
由（2）可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90°，
∴△DME∽△DNF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{1}{k}$．

（3）结论：$\frac{DE}{DF}$=$\frac{b}{a}$．
理由：如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同（2）可证∠EDM=∠FDN，

又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△DEM∽△DFN，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DM}{DN}$，
∵$\frac{BD}{CD}$=b，
∴S_△ABD：S_△ADC=b，
∴$\frac{1}{2}$•AB•DM：$\frac{1}{2}$•AC•DN=b，∵AB：AC=a，
∴DM：DN=$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{b}{a}$．
故答案为$\frac{b}{a}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积、奇偶分析的性质定理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，学会理由面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．