Question

如图1，已知二次函数y=ax²﹣8ax+12（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线的对称轴上，且四边形ABPC为平行四边形．

（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的解析式；

（2）点M为x轴下方抛物线上一点，若△OMP的面积为36，求点M的坐标．

Answer 1

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．

【专题】计算题．

【分析】（1）利用二次函数的性质可得对称轴为直线x=4，则PC=4，再根据平行四边形的性质得PC=AB=4，然后利用抛物线的对称性可得A（2，0），B（6，0），然后把把点 A（2，0）代入得y=ax²﹣8ax+12求出a=1，所以二次函数解析式为y=x²﹣8x+12；

（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M（m，x²﹣8x+12），其中2＜m＜6，作MN⊥y轴于N，如图2，利用S_梯形CPMN﹣S_△OCP﹣S_△OMN=S_△OPM得到（4+m）（12﹣m²+8m﹣12）﹣×4×12﹣m（﹣m²+8m﹣12）=36，化简得：m²﹣11m+30=0，然后解方程求出m即可得到点M的坐标．

【解答】解：（1）对称轴为直线x=﹣=4，则PC=4，

∵四边形ABPC为平行四边形，

∴PC∥AB，PC=AB，

∴PC=AB=4，

∴A（2，0），B（6，0），

把点 A（2，0）代入得y=ax²﹣8ax+12得4a﹣16a+12=0，解得a=1，

∴二次函数解析式为y=x²﹣8x+12；

（2）设M（m，x²﹣8x+12），其中2＜m＜6，

作MN⊥y轴于N，如图2，

∵S_梯形CPMN﹣S_△OCP﹣S_△OMN=S_△OPM，

∴（4+m）（12﹣m²+8m﹣12）﹣×4×12﹣m（﹣m²+8m﹣12）=36，

化简得：m²﹣11m+30=0，解得m₁=5，m₂=6，

∴点M的坐标为（5，﹣3）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．