Question

已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，

∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

Answer 1

解答：（1）证法一：

如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴点B为线段AD的中点，

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线，

∴BM∥CF．^{………………………}(3分）

证法二：

如答图1b，延长BM交EF于D，

∵∠ABC=∠CEF=90°，

∴AB⊥CE，EF⊥CE，

∴AB∥EF，

∴∠BAM=∠DFM，

∵M是AF的中点，

∴AM=MF，

∵在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，

∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，

∴BE=DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠EBM=45°，

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，

∴∠EBM=∠ECF，

∴MB∥CF；^{………………………}(3分）

（2）如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，

∴BM=DF．

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

∴ME=AG．

∵CG=CF=a，CA=CD=a，

∴AG=DF=a，

∴BM=ME=×a=a．^{………………………}(7分）

（3）证法一：

如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．

延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．

在△ACG与△DCF中，

，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．^{………………………}(12分）

证法二：

如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，

∵∠BCE=45°，

∴∠ACD=45°×2+45°=135°

∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，

∴AB∥CF，

∴∠BAM=∠DFM，

∴M是AF的中点，

∴AM=FM，

在△ABM和△FDM中，，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，BM=DM，

∴AB=BC=DF，

∵在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE（SAS），

∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

又∵BM=DM，

∴BM=ME=BD，

故BM=ME．