Question

20．如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于D、E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．若BF=a，PC=b，DE与BC间的距离为h，求证：S²=4S₁S₂．

Answer 1

分析 由于DE∥BC，EF∥AB，可知四边形DBFE是?，同时，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，从而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S₁：S₂=a²：b²，由于S₁=$\frac{1}{2}$bh，那么可求S₂，从而易求4S₁S₂，又S=ah，容易证出结论．

解答 证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=（$\frac{DE}{FC}$）²=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
∵S₁=$\frac{1}{2}$bh，
∴S₂=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$×S₁=$\frac{{a}^{2}h}{2b}$，
∴4S₁S₂=4×$\frac{1}{2}$bh×$\frac{{a}^{2}h}{2b}$=（ah）²，
而S=ah，
∴S²=4S₁S₂．

点评 本题考查了平行四边形、三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．