Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点是轴负半轴上的一点，且，点在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点，连接，当平分时，求点的坐标．

（3）直线交对称轴于点，是坐标平面内一点，请直接写出与全等时点的坐标__________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或或或．

【解析】

（1）直接利用待定系数法即可得；

（2）先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的判定与性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据两点之间的距离公式即可得；

（3）先根据抛物线的解析式求出点C的坐标，从而根据两点之间的距离公式分别求出AC、AD、CD的长，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而可得点E的坐标，然后根据两点之间的距离公式可求出CE的长，最后根据三角形全等的性质分两种情况，分别建立方程组求解即可得．

（1）由题意，将点，代入抛物线的解析式得：

解得

则抛物线的解析式为；

（2）的顶点式为

则其对称轴为，顶点D的坐标为

可设点M的坐标为

平分

轴，轴

由两点之间的距离公式得：

解得

故点M的坐标为或；

（3）对于

当时，，则点C的坐标为

由两点之间的距离公式得：

设直线BC的解析式为

将点代入得，解得

则直线BC的解析式为

当时，，即点E的坐标为

设点P的坐标为

由两点之间的距离公式得：

则

因此，要使与全等，有以下两种情况：

①

即，解得或

则此时，点P的坐标为或

②

即，解得或

则此时，点P的坐标为或

综上，所求的点P的坐标为或或或．