Question

【题目】如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，点是抛物线的顶点．

（1）求、、三点的坐标；

（2）连接，，，若点为抛物线上一动点，设点的横坐标为，当时，求的值（点不与点重合）；

（3）连接，将沿轴正方向平移，设移动距离为，当点和点重合时，停止运动，设运动过程中与重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）的值为，，2；（3）

【解析】

（1）令y＝0，解方程即可求得A、B的坐标，令x＝0，即可求得C的坐标，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；

（2）根据待定系数法求得直线BC的解析式，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，则xD＝1＝xE，求得yE＝2，DE＝2，进而得出S△BCD＝S△BED＋S△CDE＝×2×1＋×2×2＝3，然后分两种情况分别讨论求得即可；

（3）分三种情况：①当0＜a≤1时，根据S＝S△AOCS△A′OES△FGC′即可求得；②当1＜a≤3时，如图4，根据S＝S△AOCS△FGC′即可求得；③当3＜a≤4时，如图5，S＝（4a）×（4a），故可求解．

解：（1）当时，，

解得，，

∴，，

当时，，

∴，

∵，

∴；

（2）设：

将，代入得：解得，

∴直线为，

过点作轴，交于点，

∵，

∴，∴，

∴，

过点作轴，交直线于点，

设，

①当是下方抛物线上一点时，如图1，

∴．

∴（舍），，

②当是上方抛物线上一点时，如图2，

，

解得，，

综上：的值为，，2；

（3）①当0＜a≤1时，如图3，

∵OA′＝1a，O′C′＝OC＝3，

∵OE∥O’C

∴△A’OE∽△A’O’C’

∴

即，

∴OE＝33a，

∴CE＝3a，

∵O’G∥OC

∴△BO’G∽△BOC

∴，

即，

∴O′G＝3a，

∴GC′＝a，

∵，

∴△FC′G边C′G上的高为a，

∴S＝S△AOCS△A′OES△FGC′＝×1×3（1a）×（/span>33a）a×a＝a2＋3a；

②当1＜a≤3时，如图4，

∵GC′＝a，△FC′G边C′G上的高为a，

∴S＝S△AOCS△FGC′＝×1×3a×a＝；

③当3＜a≤4时，如图5，

∵A′B＝4a，CC′＝a，

设△A′FB边A′B上的高为h，则△CFC′边CC′的高为3h，

∵△A′FB∽△C′FC，

∴，解得h＝（4a），

∴S＝（4a）×（4a）＝；

综上，．