Question

【题目】如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D是AB的中点.

（1）如图1，若点E、F分别是AC、BC上的点，且AE=CF，请判别△DEF的形状，并说明理由；

（2）若点E、F分别是CA、BC延长线上的点，且AE=CF，则（1）中的结论是否仍然成立？请

说明理由.

Answer 1

【答案】（1）△DEF是等腰直角三角形. （2）仍然成立.

【解析】试题分析：

（1）连接CD，如图1，结合已知条件易证△AED≌△CFD，由此即可证得DE=DF，∠EDF=90°，从而可得△DEF是等腰直角三角形；

（2）先根据题意画出符合要求的图形，如图2，连接CD，结合已知条件易证△AED≌△CFD，由此即可证得；DE=DF，∠EDF=90°，从而可得此时△DEF仍然是等腰直角三角形.

试题解析：

（1）△DEF是等腰直角三角形，理由如下：

如图1，连接CD，

∵AC=BC，∠ACB=90°，点D是BC边的中点，

∴CD⊥BC，∠A=∠DCF=45°，CD=BC=AD，

又∵AE=CF，

∴△AED≌△CFD，

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，

又∵CD⊥BC，

∴∠CFD+∠CDE=∠ADE+∠CDE=∠CDA=90°，即∠EDF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）如图2，（1）中结论仍然成立，理由如下：

连接CD，∵AC=BC，∠ACB=90°，点D是BC边的中点，

∴CD⊥BC，∠A=∠DCB=45°，CD=BC=AD，

∴∠EAD=180°+45°=135°，∠ACD=180°-45°=135°，

又∵AE=CF，

∴△AED≌△CFD，

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，

又∵CD⊥BC，

∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠CDA=90°，即∠EDF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；