Question

【题目】(如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B＝2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF＝FC.

(1)求证：CF是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3-.

【解析】试题分析：（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用∠B=2∠A可计算出∠B=60°，∠A=30°，易得∠E=30°，接着由EF=FC得到∠ECF=∠E=30°，所以∠FCA=60°，加上∠OCA=∠A=30°，所以∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，于是可根据切线的判定得到FC是⊙O的切线；

（2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△ABC中可计算出，

，则,所以BE=BC+CE=，然后在Rt△BEM中计算出 再计算AB-BM的值即可．

证明：如图，连接OC.

∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，

∴AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

又∵∠B＝2∠A，

∴∠B＝60°，∠A＝30°.

∵EM⊥AB，∴∠EMB＝90°.

在Rt△EMB中，∠B＝60°，

∴∠E＝30°.

又∵EF＝FC，

∴∠ECF＝∠E＝30°.

又∵∠ECA＝90°，

∴∠FCA＝60°.

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A＝30°，

∴∠FCO＝∠FCA＋∠ACO＝90°，

∴OC⊥CF，

∴FC是⊙O的切线；

(2)在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，

∴BC＝AB＝2，AC＝＝BC＝2.

∵AC＝CE，

∴CE＝2，

∴BE＝BC＋CE＝2＋2.

在Rt△BEM中，∠BME＝90°，∠E＝30°，

∴BM＝BE＝1＋，

∴AM＝AB－BM＝4－1－＝3－.