题目内容
如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AF交CD于E，交BC的延长线于F．
(1)若∠B＋∠DCF＝180º，求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)若E是线段CD的中点，且CF∶CB＝1∶3，AD＝6，求梯形ABCD中位线的长．
(1)∵ ∠DCB＋∠DCF＝180°，
又∵ ∠B＋∠DCF＝180°，
∴ ∠B＝∠DCB.
∵ 四边形ABCD是梯形，
∴ 四边形ABCD是等腰梯形.
(2)∵ AD∥BC，
∴ ∠DAE＝∠F.
∵ E是线段CD的中点，∴ DE＝CE.
又∵ ∠DEA＝∠FEC，
∴ △ADE≌△FCE .
∴ AD＝CF.
∵ CF∶BC＝1∶3，∴ AD∶BC＝1∶3.
∵ AD＝6，∴ BC＝18.
∴ 梯形ABCD的中位线是 (18＋6)÷2＝12.
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