Question

设△A₁B₁C₁的面积是S₁，△A₂B₂C₂的面积为S₂（S₁＜S₂），当△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，且0.3≤

S1

S2

≤0.4时，则称△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂有一定的“全等度”．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，连接AC．
（1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；
（2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．

Answer 1

分析：（1）先过点D作DE⊥AC，交AC于E，利用AD∥BC，AD=DC，∠BCD=60°，可证∠DAC=∠ACD=∠ACB=30°，那么△ABC和△DAC中就有两组对应角相等，即可求它们相似．可以设DE=x，由于∠DAC=30°，所以AD=2x，AE=

3

x，那么利用等腰三角形三线合一定理，可知AC=2

3

x=AB，于是S_△DAC：S_△ABC=DA：AB=（

2x

2 3 x

）²=1：3，而0.3≤

1

3

≤0.4，所以两三角形有一定的全等度；
（2）不正确，举出反例进行论证其错误即可．比如可令∠ACB=40°，则∠ACD=20°，∠DAC=40°，∠BAC=110°，∠ADC=120°，显然两个三角形不相似，当然就不存在全等度了．

解答：（1）证明：∵AD=DC
∴∠DAC=∠DCA
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵∠BCD=60°
∴∠ACD=∠ACB=30°
∵∠B=30°
∴∠DAC=∠B=30°
∴△DAC∽△ABC
过点D作DE⊥AC于点E，
∵AD=DC
∴AC=2EC
在Rt△DEC中
∵∠DCA=30°，cos∠DCA=

EC

DC

=

3

2

∴DC=

2

3

EC
∴

DC

AC

=

1

3

∴

S△DAC

S△ABC

=（

DC

AC

）²=

1

3

≈0.33，
∵0.3≤

S△DEC

S△ADC

≤0.4
∴△DAC与△ABC有一定的“全等度”．

（2）解：△DAC与△ABC有一定的△“全等度”不正确．
反例：若
∠ACB=40°，则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”．
∵∠B=30°，∠BCD=60°，
∴∠BAC=110°
∵AD∥BC
∴∠D=120°
∴△DAC与△ABC不相似
∴若∠ACB=40°，则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”．

点评：本题利用了等边对等角的性质、平行线的性质、三角函数值、相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识．