Question

11．同圆或等圆中，圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形．如图⊙O内接八边形中，已知AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2$\sqrt{2}$．
（1）扇形DOE与扇形EOF是否互余共轭扇形？请推理说明．
（2）求⊙O的半径；
（3）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）求出∠DOE和∠EOF的度数，相加为90°即可；
（2）FM⊥DE的延长线于M，判断出△DOF是等腰直角三角形，求出OD的长，即为半径；
（3）分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，根据S_阴影=[S_扇形EOF-（S_△DOE+S_△EOF）]×4，即可解答．

解答 解：（1）∵AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2$\sqrt{2}$，
∴∠DOE=$\frac{2}{4×2+4×2\sqrt{2}}$×360°=（ $\sqrt{2}$-1）•90°；∠EOF=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×4+2×4}$×360°=（2-$\sqrt{2}$）•90°
∴∠DOE+∠EOF=（$\sqrt{2}$-1）•90°+（2-$\sqrt{2}$）•90°=90°，
∴扇形DOE与扇形EOF为互余共轭扇形．
（2）如图所示，FM⊥DE的延长线于M，
由（1）知∠DOF=∠DOE+∠EOF=（180°-2∠DEO）+（180°-2FEO）=360°-2∠DEF=90°
∴∠DEF=135°；
∴∠FEM=45°，
∴△EMF是等腰直角三角形
∴ME=MF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2；DM=DE+ME=2+2=4，
在Rt△DMF中：DF=$\sqrt{{DM}^{2}+{MF}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵OD=OF；∠DOF=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$；即⊙O的半径为$\sqrt{10}$；
（3）如图所示，分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，
∴OP=$\sqrt{{OD}^{2}-（\frac{1}{2}DE）^{2}}$=$\sqrt{10-1}$=3，OQ=$\sqrt{{OF}^{2}-（\frac{1}{2}EF）^{2}}$=$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△DOE=$\frac{1}{2}$DE•OP=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
S_△EOF=$\frac{1}{2}$×EF•OQ=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
S_扇形EOF=$\frac{1}{4}$πOD²=$\frac{5}{2}$π，
∴S_阴影=[S_扇形EOF-（S_△DOE+S_△EOF）]×4=[$\frac{5}{2}$π-（4+3）]×4=10π-28．

点评 本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．