Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
求证：AE是⊙O的切线．

Answer 1

证明：连接OA．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴点A在⊙O上．
∵DA平分∠BDE，
∴∠EDA=∠ODA．
易证∠OAD=∠ODA．
∴∠OAD=∠EDA，即OA∥DE．
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∴AE是⊙O的切线．
分析：连接OA，证明OA⊥AE即可．因为AE⊥CD，所以需证OA∥CE．根据角平分线定义和等腰三角形性质可证∠OAD=∠ODA=∠ADE可证．
点评：此题考查切线的判定．已知直线经过圆上一点，证直线是圆的切线，需连接圆心和该点，证明直线与连线垂直．