题目内容

如图，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等边三角形，点A₁，A₂在函数y= $数学公式$ 的图象上，点B₁，B₂在x轴的正半轴上，分别求△OA₁B₁，△B₁A₂B₂的面积．

解：分别过A₁、A₂作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
设OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．
∵△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等边三角形，
∴∠OA₁D=∠B₁A₂E=30°，
∴A₁D= $\text{[math]}$ OD= $\text{[math]}$ m，A₂E= $\text{[math]}$ B₁E= $\text{[math]}$ n，OE=2m+n，
∴A₁的坐标为（m， $\text{[math]}$ m），A₂的坐标为（2m+n， $\text{[math]}$ n），
又∵点A₁在函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴ $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ ，解得m= $\text{[math]}$ （m=- $\text{[math]}$ 舍去），
∴OB₁=2m= $\text{[math]}$ ，OE= $\text{[math]}$ +n．
∵点A₂在函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴ $\text{[math]}$ n•（ $\text{[math]}$ +n）= $\text{[math]}$ ，解得n₁= $\text{[math]}$ ，n₂= $\text{[math]}$ （舍去），
∴n= $\text{[math]}$ ，
∴B₁B₂=2n= $\text{[math]}$ ，
∴△OA₁B₁的面积= $\text{[math]}$ OB₁²= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
△B₁A₂B₂的面积= $\text{[math]}$ B₁B₂²= $\text{[math]}$ ×[ $\text{[math]}$ ]²= $\text{[math]}$ ．
分析：分别过A₁、A₂作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到A₁D= $\text{[math]}$ OD= $\text{[math]}$ m，A₂E= $\text{[math]}$ B₁E= $\text{[math]}$ n，OE=2m+n，得到A₁的坐标为（m， $\text{[math]}$ m），A₂的坐标为（2m+n， $\text{[math]}$ n），然后先把A₁的坐标代入反比例解析式求得m的值，再把A₂的坐标代入反比例解析式得到n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的 $\text{[math]}$ 倍计算即可．
点评：本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质．