Question

如图，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等边三角形，点A₁，A₂在函数y=的图象上，点B₁，B₂在x轴的正半轴上，分别求△OA₁B₁，△B₁A₂B₂的面积．

Answer 1

【答案】分析：分别过A₁、A₂作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到A₁D=OD=m，A₂E=B₁E=n，OE=2m+n，得到A₁的坐标为（m，m），A₂的坐标为（2m+n，n），然后先把A₁的坐标代入反比例解析式求得m的值，再把A₂的坐标代入反比例解析式得到n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的倍计算即可．
解答：解：分别过A₁、A₂作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
设OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．
∵△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等边三角形，
∴∠OA₁D=∠B₁A₂E=30°，
∴A₁D=OD=m，A₂E=B₁E=n，OE=2m+n，
∴A₁的坐标为（m，m），A₂的坐标为（2m+n，n），
又∵点A₁在函数y=的图象上，
∴m=，解得m=（m=-舍去），
∴OB₁=2m=，OE=+n．
∵点A₂在函数y=的图象上，
∴n•（+n）=，解得n₁=，n₂=（舍去），
∴n=，
∴B₁B₂=2n=，
∴△OA₁B₁的面积=OB₁²=×（）²=，
△B₁A₂B₂的面积=B₁B₂²=×[]²=．
点评：本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质．