Question

19．已知正方形ABCD的边长为4$\sqrt{2}$，如果P是正方形内一点，且PA=PC=2$\sqrt{5}$，那么BP的长为6或2．

Answer 1

分析 根据全是三角形的性质得到∠ABP=∠CBP=45°，过P作PE⊥BC于E，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：在△ABP与△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{PB=PB}\\{AP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠ABP=∠CBP=45°，
过P作PE⊥BC于E，
∴PE=BE，
∵BC=4$\sqrt{2}$，
∴CE=4$\sqrt{2}$-PE，
在Rt△PCE中，PC²=PE²+CE²，
即（2$\sqrt{5}$）²=PE²+（4$\sqrt{2}$-PE）²，
∴PE=3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$，
∴PB=$\sqrt{2}$PE=6或2．
故答案为：6或2．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判断和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键，