Question

11．如图，正方形ABCD和正方形DEFG有一共同顶点D，将正方形DEFG绕点D旋转，B，E，F三点在一条直线上，AH⊥BE于点H，如图①，易证：BE-EF=2AH（不需证明）．
（1）继续旋转正方形DEFG，其他条件不变，如图②，猜想线段BE，EF，AH之间有怎样的数量关系？并给予证明；
（2）若将题中的条件改为AD=2AB，DE=2EF，H为BF中点，如图③，其他条件不变时，线段BE，EF，AH之间又有怎样的数量关系？猜想其结论，不需证明．

Answer 1

分析 （1）结论：BE+EF=2AH．如图②中，作AM⊥AE交EB的延长线于M．只要证明△DAE≌△BAM，利用△AEM是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）结论：BE-EF=2AH．如图③中，在BH上取一点M，使得BM=EF．只要证明△ADE∽△ABM，推出∠EAD=∠MAB，推出∠EAM=∠DAB=90°，由HF=HM，EF=BM，可得EH=HM，即可推出EM=2AH，由此即可解决问题；

解答 解：（1）结论：BE+EF=2AH．
理由：如图②中，作AM⊥AE交EB的延长线于M．

∵四边形ABCD、四边形DEFG都是正方形，
∴AD=AB，∠AEM=45°，∠DAB=∠EAM=90°，
∴∠DAE=∠BAM，∠M=∠AEM=45°，
∴AE=AM，
∵AH⊥EM，
∴EM=2AH，
在△DAE和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAE=∠BAM}\\{AE=AM}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△BAM，
∴DE=EF=BM，
∴BE+EF=BE+BM=EM=2AH．

（2）结论：BE-EF=2AH．
理由：如图③中，在BH上取一点M，使得BM=EF．

∵∠DEB=∠DAB=90°，易证∠EDA=∠ABM，
∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{EF}$=2，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BM}$，
∴△ADE∽△ABM，
∴∠EAD=∠MAB，
∴∠EAM=∠DAB=90°，
∵HF=HM，EF=BM，
∴EH=HM，
∴EM=2AH，
∴BE-EF=BE-BM=EM=2AH，
∴BE-EF=2AH．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．