Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB，H为垂足，D是AC的中点，CE平分∠ACH交AB于E，DE与CH的延长线交于点F，求证：BF∥CE．

Answer 1

分析 延长ED到M，使DM=ED，连接AM，MC，于是得到四边形AMCE是平行四边形，根据平行线的性质得到AE∥MC，AM∥CE，AE=MC，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{FE}{FM}=\frac{EH}{MC}=\frac{EH}{AE}$，根据角平分线的性质得到$\frac{EH}{AE}=\frac{CH}{AC}$，通过△BCH∽△BAC，得到$\frac{CH}{AC}=\frac{BC}{BA}$，推出∠CAB=∠BCH，∠ACE=∠ECH，于是得到$\frac{EF}{FM}=\frac{BE}{BA}$，∴$\frac{EF}{EM}=\frac{EB}{AE}$即可得到结论．

解答 证明：延长ED到M，使DM=ED，连接AM，MC，
∵AD=DC，
∴四边形AMCE是平行四边形，
∴AE∥MC，AM∥CE，AE=MC，
∴$\frac{FE}{FM}=\frac{EH}{MC}=\frac{EH}{AE}$，
∵CE平分∠ACH，
∴$\frac{EH}{AE}=\frac{CH}{AC}$，
∵∠ACB=90°，CH⊥AB，
∴△BCH∽△BAC，
∴$\frac{CH}{AC}=\frac{BC}{BA}$，
∵∠BEC=∠CAB+∠ECA，∠ECB=∠ECH+∠BCH，
∵∠CAB=∠BCH，∠ACE=∠ECH，
∴$\frac{EF}{FM}=\frac{BE}{BA}$，
∴$\frac{EF}{EM}=\frac{EB}{AE}$，
∴AM∥BF，
∵AM∥CE，
∴BF∥CE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．