Question

3．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ODEF的对角线OE在y轴上，将矩形ODEF横坐标原点O按逆时针方向旋转60°后，得到矩形OCAB，点E的对应点为点A，点F的对应点为x轴上点B，已知抛物线y=ax²+bx+2经过点A、D、E三点．
（1）请直接写出点A和点D的坐标，点A（-$\sqrt{3}$，1）和点D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）若点P是x轴的上方抛物线上一动点，那么在x轴的上方是否存在另一点Q，使得以点O、B、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx+2可得E点坐标为（0，2），即OE=2，根据三角函数关系可得EF和OF的长，再根据旋转的性质可得点A的坐标，根据长方形的性质和三角函数可得D的坐标；
（2）根据待定系数法把A（-$\sqrt{3}$，1）和D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）抛物线y=ax²+bx+2，得到方程组，解方程组即可求解；
（3）先根据矩形的面积公式求出S_矩形ABOC=$\sqrt{3}$，从而得到以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为2$\sqrt{3}$．依题意设点P的坐标为（m，2），代入抛物线得到方程，解方程求得P₁（0，2），P₂（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2），分两种情况讨论得到点Q的坐标．

解答 解：（1）由抛物线y=ax²+bx+2可得E点坐标为（0，2），即OE=2，
在Rt△OEF中，EF=$\frac{1}{2}$OE=1，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=$\sqrt{3}$，
∵CA=OF=$\sqrt{3}$，AB=EF=OD=1，
∴A（-$\sqrt{3}$，1），
如图1①，过D点作DG⊥x轴于G，
在Rt△ODG中，DG=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；   
（2）因为抛物线y=ax²+bx+2经过点A、D、E三点
把A（-$\sqrt{3}$，1）和D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3a-\sqrt{3}b+2=1}\\{\frac{3}{4}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+2=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{8}{9}}\\{b=-\frac{5\sqrt{3}}{9}}\end{array}\right.$．
故所求抛物线表达式为：y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$x+2；
（3）存在符合条件的点Q．
∵由（1）知AB=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴S_矩形ABOC=$\sqrt{3}$，
∴以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为2$\sqrt{3}$．
由题意可知，OB为此平行四边形一边，
又∵OB=$\sqrt{3}$，
∴OB边上的高为2，即P点的纵坐标为2，
依题意设点P的坐标为（m，2），
∴点P在抛物线y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$x+2上，
∴-$\frac{8}{9}$m²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$m+2=2，
解得m₁=0，m₂=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
∴P₁（0，2），P₂（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2），
∵以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=$\sqrt{3}$，
∴当点P₁的坐标为（0，2）时，如图1所示
点Q的坐标分别为Q₁（-$\sqrt{3}$，2），Q₂（$\sqrt{3}$，2）；      
当点P₂的坐标为（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2）时，如图2所示，
点Q的坐标分别为Q₃（-$\frac{13\sqrt{3}}{8}$，2），Q₄（$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，2）．
综上所述，点Q的坐标分别为Q₁（-$\sqrt{3}$，2），Q₂（$\sqrt{3}$，2），Q₃（-$\frac{13\sqrt{3}}{8}$，2），Q₄（$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，2）．
故答案为：-$\sqrt{3}$，1；$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：三角函数，旋转的性质，长方形的性质，待定系数法求抛物线解析式，平行四边形的性质，方程思想，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．