Question

如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为

AC

上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．

Answer 1

考点：切线的性质,等腰三角形的判定,垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连结OC，根据切线的性质得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，则∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；
（2）连结OD，BG，在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2，由于∠FOC=90°-∠F=60°，根据三角形外角性质可计算出∠1=∠2=30°，则∠PCD=90°-∠1=60°，可判断△PCD为等边三角形；再由D为AC的中点，根据垂径定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可计算出OD=

1

2

OC=1，CD=

3

OD=

3

，所以△PCD的周长为3

3

；然后在Rt△ADE中，计算出DE=

1

2

AD=

3

2

，AE=

3

DE=

3

2

，根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°，再证明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可计算出AG．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，
∵GE⊥AB，
∴∠GEA=90°，
∴∠2+∠ADE=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠PCD=∠ADE，
而∠ADE=∠PDC，
∴∠PCD=∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形；

（2）解：连结OD，BG，如图，
在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，
∴OF=2OC，即OB+2=2OC，
而OB=OC，
∴OC=2，
∵∠FOC=90°-∠F=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠PCD=90°-∠1=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AD=CD，
在Rt△OCD中，OD=

1

2

OC=1，
CD=

3

OD=

3

，
∴△PCD的周长为3

3

；
在Rt△ADE中，AD=CD=

3

，
∴DE=

1

2

AD=

3

2

，
AE=

3

DE=

3

2

，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
而∠GAE=∠BAG，
∴Rt△AGE∽Rt△ABG，
∴AG：AB=AE：AG，
∴AG²=AE•AB=

3

2

×4=6，
∴AG=

6

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质．