题目内容
如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2，OA=3，点P是OA上的任意一点，PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合．
（1）设OP=x，OE=y，求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值；
（2）当PD⊥OA时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式；
（3）请探究：在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得△EPM为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．
∴∠OPE+∠APB=90°．又∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴
．即
．
∴y=
x（3-x）=-x2+
x（0＜x＜3）．
且当x=时，y有最大值
；
（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（3，2）．
设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+C，则
∴
∴y=
x2-
x+1；
（3）由（2）知∠EPB=90°，即点M与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x-1，与y轴交于点（0，-1）．
将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），
∴该直线为y=x+1．
由
得
，
∴M（4，5）．
故该抛物线上存在两点M（3，2），（4，5）满足条件．
分析：（1）根据题目条件得出Rt△POE∽Rt△BPA，然后根据相似三角形的性质列出比例式，转化为关于x的二次函数最值问题解答．
（2）设出二次函数的一般式，利用待定系数法列出方程组，求出a、b、c的值即可得到经过E、P、B三点的抛物线的解析式；
（3）由（2），得到∠EPB=90°，即可知点M与点B重合时满足条件，求出直线PB为y=x-1，与y轴交于点（0，-1），进而求出PB向上平移2个单位则过点E（0，1）的解析式，与抛物线解析式组成方程组，其解即为M点坐标．
点评：此题考查了列抛物线解析式、待定系数法求函数解析式及三角形的存在性问题，都要用到数形结合的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
∴∠OPE+∠APB=90°．又∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴
．即．∴y=
x（3-x）=-x2+x（0＜x＜3）．且当x=
时，y有最大值；（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（3，2）．
设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+C，则
∴
∴y=
x2-x+1；（3）由（2）知∠EPB=90°，即点M与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x-1，与y轴交于点（0，-1）．
将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），
∴该直线为y=x+1．
由
得，∴M（4，5）．
故该抛物线上存在两点M（3，2），（4，5）满足条件．
分析：（1）根据题目条件得出Rt△POE∽Rt△BPA，然后根据相似三角形的性质列出比例式，转化为关于x的二次函数最值问题解答．
（2）设出二次函数的一般式，利用待定系数法列出方程组，求出a、b、c的值即可得到经过E、P、B三点的抛物线的解析式；
（3）由（2），得到∠EPB=90°，即可知点M与点B重合时满足条件，求出直线PB为y=x-1，与y轴交于点（0，-1），进而求出PB向上平移2个单位则过点E（0，1）的解析式，与抛物线解析式组成方程组，其解即为M点坐标．
点评：此题考查了列抛物线解析式、待定系数法求函数解析式及三角形的存在性问题，都要用到数形结合的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
练习册系列答案
冲刺100分1号卷系列答案
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