题目内容

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=
1
2
x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段0A上时，且tan∠DEO=
1
2
．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
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分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
解答：精英家教网解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），
∴B（-3，1），
若直线经过点A（-3，0）时，则b=
3
2
，
若直线经过点B（-3，1）时，则b=
5
2
，
若直线经过点C（0，1）时，则b=1，
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤
3
2
，如图1，
此时E（-2b，0），
∴S=
1
2
OE•CO=
1
2
×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即
3
2
＜b＜
5
2
，如图2精英家教网
此时E（-3，b-
3
2
），D（2-2b，1），
∴S=S矩-（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
=3-[
1
2
（2b-2）×1+
1
2
×（5-2b）•（
5
2
-b）+
1
2
×3（b-
3
2
）]
=
5
2
b-b2，
∴S=
b     ( 1＜b ≤
3
2
)
5
2
b-b2     (
3
2
＜b＜
5
2
)
；

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为
四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，精英家教网
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，tan∠DEO=
1
2
，
∴
DH
HE
=
1
2
，DH=1，
∴HE=2，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2-a）2+12，
∴a=
5
4
，
∴S四边形DNEM=NE•DH=
5
4
．
∴矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为
5
4
．
点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．
练习册系列答案
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A、2
10
B、
10
C、4
D、6
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A′
A′
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B′
B′
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A′B′
A′B′
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∠D′A′B′
∠D′A′B′
，线段AD与A′D′的比为
1：2
1：2
．它们关于点
O
O
位似．△OAB与
△OA′B′
△OA′B′
相似，相似比为
1：2
1：2
．

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