Question

已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x²相交于B、C两点.

（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图13-2，设(m<0)，过点的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由

Answer 1

1）因为点C在抛物线上，所以C（1，）  ……………………………………………1分

又因为直线BC过C、F两点，故得方程组 …………………………………………2分

解之，得，所以直线BC的解析式为：  …………………………………3分

（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF

设M（x₁, ），则D（x₁，）

因为MD∥y轴，所以MD=，由MD=OF，可得，

①当时，解得x₁=0（舍）或x₁=，所以M（，）  ………………5分

②当时，解得，，

所以M（，）或M（，），   ………………………7分

综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，

M点坐标为（，）或（，）或（，）   ……8分

（3）过点F作FT⊥BR于点T，因为点B在抛物线上，所以m²=4n，在Rt△BTF中，

BF====，因为n>0，所以BF=n+1，

又因为BR= n+1，所以BF=BR.   所以∠BRF=∠BFR，………………………………………9分

又因为BR⊥l，EF⊥l，所以BR∥EF，所以∠BRF=∠RFE，

所以∠RFE=∠BFR.    …………………………………………………………………………10分

同理可得∠EFS=∠CFS,   ……………………………………………………………………11分

所以∠RFS=∠BFC=90°，

所以△RFS是直角三角形.   …………………………………………………………………12分