Question

如图，直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=－x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．

1.求⊙A的半径和b的值；

2.判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；

3.若点P在⊙A上，点Q是y轴上C点下方的一点，当△PQM为等腰直角三角形时，请直接写出满足条件的点Q（0，k）（k为整数）坐标．

 

Answer 1

 

1.连结MA，过M作MD⊥x轴，垂足为D

∵M(4，4)，A(1， 0）∴AD=3，MD=4，∴MA=5，即⊙A的半径为5；………… 1分

又直线y=－x+b过点M(4，4)，代入可得b=7… 2分

2.∵直线y=－x+7分别交x轴、y轴于B、C两点

可解得C(0，7)，B(，0)，∴AB=，DB=…4分

在Rt△MBD中，MB===………… 5分

由，，得，………… 6分

又∠ABM=∠MBD

∴△ABM∽△MBD，∠AMB=∠MDB=90°……… 7分

∴AM⊥直线BC，∴直线BC与⊙A相切  ………… 8分

3.①当∠PQM=90°时，Q(0，0)；…………10分

②当∠PMQ=90°，Q (0，2)；………… 12分

③当∠QPM=90°时，Q(0，)或(0，－8) …… 14分

其余两种不合题意，舍去。

解析:（1）连结MA，过M作MD⊥x轴，垂足为D由图可得，AM²=AD²+MD²，且AD=3，MD=4，代入可得；

（2）只要证明∠AMB=90°可得出直线BC与⊙A相切

（3）题目分为3种情况：①当∠PQM=90°时，②当∠PMQ=90°，③当∠QPM=90°时，