Question

2．如图，AB是半圆的直径，C、D是$\widehat{AB}$的三分之一点，若半径为R，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 首先连OC、OD，根据弧相等则弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠COD=∠BOD=$\frac{1}{3}$×180°=60°，则△OCD为等边三角形，即有∠OCD=60°，所以CD∥AB，于是得到S_△ECD=S_△OCD，可把求阴影部分的面积的问题转化为求扇形OCD的面积，然后根据扇形的面积公式计算即可．

解答 解：如图，连接OC、OD．
∵AB为半圆的直径，点C、D三等分半圆
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
而OC=OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∴CD∥AB，
∴S_△BCD=S_△OCD，
∴S_阴影=S_扇形OCD=$\frac{60π×{R}^{2}}{360}$=$\frac{π{R}^{2}}{6}$．

点评 本题考查了扇形的面积公式：S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$（n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径）以及弧与圆心角之间的关系以及等边三角形的性质，根据已知得出阴影部分的面积=S_扇形OCD是解题关键．