Question

如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°. 求证：∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如图1，已知∠MON=（0°<<90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；

（3）如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交轴和轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.

Answer 1

解：（1）证明：∵∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，

∴.

∵，∴.

∵，∴.∴.

∴.∴，即.

∴∠APB是∠MON的智慧角.

（2）∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴，即.

∵点P为∠MON的平分线上一点，

∴.

∴.∴.

∴.

如答图1，过点A作AH⊥OB于点H，

∴.

∵，∴.

（3）设点，则.如答图，过C点作CH⊥OA于点H.

i）当点B在轴的正半轴时，

如答图2，当点A在轴的负半轴时，不可能.

如答图3，当点A在轴的正半轴时，

∵，∴.

∵∥，∴.∴.∴.

∴.

∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为.

ii）当点B在轴的负半轴时，如答图4

∵，∴.

∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，∴.

∴.∴.

∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为.

综上所述，点P的坐标为或.

【考点】新定义和阅读理解型问题；单动点和旋转问题；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.

【分析】（1）通过证明，即可得到，从而证得∠APB是∠MON的智慧角.

（2）根据得出结果.

（3）分点B在轴的正半轴，点B在轴的负半轴两种情况讨论.