Question

在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是对角线 ACS 行的两个动点，分别从 A，C 同时出发 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．

（1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形． 在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形．

（3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何 值时，四边形 EGFH 为菱形．

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）由矩形的性质得出 AB=CD，AB^∥CD，AD^∥BC，^∠B=90°，由勾股定理求出 AC=5， 由 SAS 证明^△AFG^≌△CEH，得出 GF=HE，同理得出 GE=HF，即可得出结论；

先证明四边形 BCHG 是平行四边形，得出 GH=BC=4，当对角线 EF=GH=4 时，平行四边形 EGFH

是矩形，分两种情况：①AE=CF=t，得出 EF=5﹣2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出 EF=5﹣2

（5﹣t）=4，解方程即可；

（3）连接 AG、CH，由菱形的性质得出 GH^⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出 OA=OC，AG=AH，证 出四边形 AGCH 是菱形，得出 AG=CG，设 AG=CG=x，则 BG=4﹣x，由勾股定理得出方程，解方

程求出 BG，得出 AB+BG=，即可得出 t 的值．

【解答】（1）证明：^∵四边形 ABCD 是矩形，

^∴AB=CD，AB^∥CD，AD^∥BC，^∠B=90°，

^∴AC= =5，^∠GAF=^∠HCE，

^∵G，H 分别是 AB，DC 中点，

^∴AG=BG，CH=DH，

^∴AG=CH，

^∵AE=CF，

^∴AF=CE，

在^△AFG 和^△CEH 中，                  ，

^∴△AFG^≌△CEH（SAS），

^∴GF=HE，

同理：GE=HF，

^∴四边形 EGFH 是平行四边形． 解：由（1）得：BG=CH，BG^∥CH，

^∴四边形 BCHG 是平行四边形，

^∴GH=BC=4，当 EF=GH=4 时，平行四边形 EGFH 是矩形，分两种情况：

①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4， 解得：t=0.5；

②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4， 解得：t=4.5；

综上所述：当 t 为 0.5s 或 4.5s 时，四边形 EGFH 为矩形．

（3）解：连接 AG、CH，如图所示：

^∵四边形 EGFH 为菱形，

^∴GH^⊥EF，OG=OH，OE=OF，

^∴OA=OC，AG=AH，