Question

14．设A=$\frac{a-2}{{1+2a+{a^2}}}$÷（a-$\frac{3a}{a+1}}$）．
（1）化简A；
（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…
解关于x的不等式：$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来．

Answer 1

分析 （1）根据分式的除法和减法可以解答本题；
（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集．

解答 解：（1）A=$\frac{a-2}{{1+2a+{a^2}}}$÷（a-$\frac{3a}{a+1}}$）
=$\frac{a-2}{（a+1）^{2}}÷\frac{a（a+1）-3a}{a+1}$
=$\frac{a-2}{（a+1）^{2}}•\frac{a+1}{{a}^{2}-2a}$
=$\frac{a-2}{（a+1）^{2}}•\frac{a+1}{a（a-2）}$
=$\frac{1}{a（a+1）}$
=$\frac{1}{{a}^{2}+a}$；

（2）∵a=3时，f（3）=$\frac{1}{{3}^{2}+3}=\frac{1}{12}$，
a=4时，f（4）=$\frac{1}{{4}^{2}+4}=\frac{1}{20}$，
a=5时，f（5）=$\frac{1}{{5}^{2}+5}=\frac{1}{30}$，
…
∴$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤f（3）+f（4）+…+f（11），
即$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{11×12}$
∴$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{11}-\frac{1}{12}$，
∴$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤$\frac{1}{3}-\frac{1}{12}$，
∴$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
解得，x≤4，
∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示，
．

点评 本题考查分式的混合运算、在数轴表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法和解不等式的方法．