Question

8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-3与抛物线y=x²+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上．
（1）n=3m-9（用含m的代数式表示）；
（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
（3）①设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x²+mx+n的最小值；
②若-3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为-4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出点A坐标（-3，0）代入抛物线解析式即可．
（2）利用配方法求出顶点坐标，代入直线解析式即可．
（3）分三种情形①当-$\frac{m}{2}$≤-3时②当-3＜-$\frac{m}{2}$≤0时③当-$\frac{m}{2}$＞0时，分别列出方程即可解决．

解答 解：（1）∵点A坐标（-3，0）代入抛物线y=x²+mx+n，得9-3m+n=0，
∴n=3m-9．
故答案为3m-9．
（2）∵抛物线为y=x²+mx+3m-9=（x+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9，
∴顶点为（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9），
∴-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9=$\frac{m}{2}$-3，
整理得m²-10m+24=0，
∴m=4或6．
∴m=4，n=3和m=6，n=9．
（3）∵-3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为-4，y=x²+mx+3m-9=（x+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9，
①当-$\frac{m}{2}$≤-3时，x=-3时，y=-4，
∴9-3m+3m-9=-4，
无解不合题意．
②当-3＜-$\frac{m}{2}$≤0时，x=-$\frac{m}{2}$时，y=-4，
∴-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9=-4，
∴m=2或-10（舍弃）
∴m=2．
③当-$\frac{m}{2}$＞0时，x=O时，y=-4，
∴3m-9=-4，
∴m=$\frac{5}{3}$不合题意舍弃．
综上所述m=2．

点评 本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．