Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点．
（1）求证：DF=EF．
（2）试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明DF=EF，只要证明△DGF≌△EBF即可．
（2）结论：GH+HF=$\frac{1}{2}$BC．只要证明FH=FB，由CG=GH，由此即可解决问题．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵DH∥AB，
∴∠DHC=∠ABC，∠DHF=∠EBF，
∴DH=DC，
∵DC=BE，
∴DH=BE，
在△DHF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHF=∠EBF}\\{∠DFH=∠EFB}\\{DH=BE}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△EBF，
∴DF=EF．

（2）结论：GH+HF=$\frac{1}{2}$BC．
理由：∵△DGF≌△EBF，
∴FH=BF，
∵CG=GH，
∴GH+FH=$\frac{1}{2}$CH+$\frac{1}{2}$BH=$\frac{1}{2}$（CH+BH）=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．