Question

19．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分线交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AD=$\frac{1}{2}$BE．

Answer 1

分析 延长AD和BC交于F，求出∠CBE=∠CAF，AC=BC，证△EBC≌△FAC，△ABD≌△FBD，推出BE=AF，AD=DF，即可得出答案．

解答 解：如图延长AD和BC交于F，

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°=∠BAC，
∴AC=BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACF=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBC，
∵BD⊥AD，
∴∠BCE=∠ADE=90°，
∵∠BEC=∠AED，
∴根据三角形内角和定理得：∠DAE=∠CBE，
在△BCE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴BE=AF，
在△ABD和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠FBD}\\{BD=BD}\\{∠ADB=∠FDB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴AD=DF，
即AF=2AD，
∴AD=$\frac{1}{2}$AF，
∴AD=$\frac{1}{2}$BE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BE=AF和AD=DF，题目比较好，难度适中．