Question

10、在四边形ABCD中，边AB=x，BC=CD=4，DA=5，它的对角线AC=y，其中x，y都是整数，∠BAC=∠DAC，那么x=

5

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Answer 1

分析：运用反证法，假设AB≠AD，则过D点作角两边垂线，设角AB或延长线于M，交AC或延长线于N，过C点作角两边垂线，设交AB或延长线于M，交AD或延长线于N，由角平分线性质得到，CM=CN，进而得出AB=AD±2ND，由AC ²=AN ²+CN ²，进而得出与假设出现矛盾，即假设不成立原命题正确．

解答：证明：过C点作角两边垂线，设交AB或延长线于M，交AD或延长线于N，则有CM=CN，
假设AB≠AD．
设CM=CN=a，ND=b，AB≠AD，
∵BC=CD=4，CM=CN，CN⊥AD，CM⊥AB，
∴BM=DN．
则有x=AB=AD±2ND=5±2b，即x=5±2b．无论位置如何，总有这个结论成立
因为x=5±2b，x为整数，所以b必为整数
在Rt△CDN中，由勾股定理，a²+b²=16
无论N点在AC上的位置如何，总有AN=5±b成立
无论N点在AD上的位置如何，总有AN=5±b成立，
AC ²=AN ²+CN ²=（5±b）²+a ²=25±10b+a ²+b ²=25±10b+16=41±10b，
因为AC为整数，所以41±10b必须为完全平方数，
在同一三角形中，直角边一定小于斜边长度，所以b＜4，
所以b=1，2，3．
∴41±10b不可能是完全平方数，与假设出现矛盾，
∴假设AB≠AD不成立，即AB=AD=5．
故答案为：5．

点评：此题主要考查了角平分线的性质以及勾股定理的应用和反证法的证明等知识，反证法是一种不常用的证明方法，但是它的应用能解决很多一些不容易证明的问题，同学们可以有意识的应用这种方法．