Question

11．（1）当b²-4ac≥0时，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁、x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
（2）运用以上发现，解决下面的问题：
①已知一元二次方程3x-2x-2014=0的两个根为x₁、x₂，则x₁+x₂=$\frac{2}{3}$；
②已知x₁、x₂是方程2x²-x-7=0的两根，试求（1+x₁）（1+x₂）和x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接得出x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
（2）①根据一元二次方程根与系数的关系x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$代入计算即可，
②根据一元二次方程根与系数的关系得出x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，再根据（1+x₁）（1+x₂）=1+x₂+x₁+x₁x₂，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂代入计算即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁、x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
故答案为：-$\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$；
（2）①∵一元二次方程3x-2x-2014=0的两个根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$；
②∵x₁、x₂是方程2x²-x-7=0的两根，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，
∴（1+x₁）（1+x₂）=1+x₂+x₁+x₁x₂=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{7}{2}$=-2，
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{1}{2}$）²-2×（-$\frac{7}{2}$）=$7\frac{1}{4}$．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．