Question

10．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为$\frac{5}{2}$或10．

Answer 1

分析 分两种情况讨论：点F在矩形内部；点F在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解，即可得到DE的长．

解答 解：分两种情况：
①如图1，当点F在矩形内部时，
∵点F在AB的垂直平分线MN上，
∴AN=4；
∵AF=AD=5，
由勾股定理得FN=3，
∴FM=2，
设DE为y，则EM=4-y，FE=y，
在△EMF中，由勾股定理得：y²=（4-y）²+2²，
∴y=$\frac{5}{2}$，
即DE的长为$\frac{5}{2}$．
②如图2，当点F在矩形外部时，
同①的方法可得FN=3，
∴FM=8，
设DE为z，则EM=z-4，FE=z，
在△EMF中，由勾股定理得：z²=（z-4）²+8²，
∴z=10，
即DE的长为10．
综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为$\frac{5}{2}$或10
故答案为：$\frac{5}{2}$或10．

点评 本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．