Question

【题目】定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．

（概念感知）

（1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

（问题探究）

（2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值．

（拓展提升）

（3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D．

①当时，则_________；

②如图4，当点B落在直线上时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）；（3）①；②．

【解析】

（1）过点A作于点D，先求出AD的长度，然后得到，即可得到结论；

（2）根据题意，由“金底”的定义得，设，，由勾股定理求出AB的长度，根据比值即可求出的值；

（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，则，即可求出DF的长度，然后得到CD的长度；

②由①可知，得到CE和AC的长度，分别过点，D作，，垂足分别为点G，F，然后根据相似三角形的判定和性质，得到，然后求出CD和AD的长度，即可得到答案．

解：（1）是“准黄金”三角形．

理由：如图，过点A作于点D，

∵，，

∴．

∴．

∴是“准黄金”三角形．

（2）∵点A，D关于BC对称，

∴，．

∵是“准黄金”三角形，BC是“金底”，

∴．

不防设，，

∵点为的重心，

∴．

∴，．

∴．

∴．

（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如图：

由题意得AE=3，

∵，

∴BC=5，

∵，

∴，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

，

∴，

∴；

∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，

∴△ACE∽△DAF，

∴，

设，则，

∵∠ACD=30°，

∴，

∴，

解得：

∴．

②如图，过点A作于点E，则．

∵是“准黄金”三角形，BC是“金底”，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴，．

分别过点，D作，，垂足分别为点G，F，

∴，，，则．

∵，

∴．

∴．

∴设，，．

∵，

∴，且．

∴．

∴．

∴，解得．

∴，．

∴．