Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴的另一个交点为，连接．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）已知点的坐标为，将抛物线向上平移得到抛物线，抛物线与轴分别交于点(点在点的左侧)，如果与相似，求所有符合条件的抛物线的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的函数表达式为或．

【解析】

（1）根据和抛物线的对称性可得是等腰直角三角形，过作，利用等腰直角三角形的性质可求出点M的坐标，再将点A和点M的坐标代入求解即可；

（2）利用等腰直角三角形的性质和角的计算可得，分两种情况：，分别求得点F的坐标，由题意可设的函数表达式为，将点F的坐标代入即可求得结果．

解：（1）∵抛物线的顶点为，

由抛物线的对称性可得：，

，

是等腰直角三角形，

如图，过作轴于，则为OA的中点，

可得：，

∴点的坐标为，

把点代入，可得

，解得，

抛物线的函数表达式为；

（2）是等腰直角三角形，，，

，

，

由题意可知：点F在点A的右侧，，

∴，

∵点的坐标为，

∴，

①当时，，

即，解得，

∴点的坐标为，

②当时，，

即，解得，

∴点的坐标为；

抛物线向上平移得到抛物线，抛物线：化为顶点式得，

设抛物线的函数表达式为，

把点代入得：

，解得：，

此时抛物线的函数表达式为；

把点代入得：

，解得：，

此时抛物线的函数表达式为；

综上所述，所有符合条件的抛物线的函数表达式为或．