Question

如图，⊙O₁、⊙O₂内切于点A，⊙O₁的半径为3，⊙O₂的半径为2，点P是⊙O₁的任一点（与点A不重合），直线PA交⊙O₂于点C，PB与⊙O₂相切于点B，则

PB

PC

=（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  3

  2

• D、

  6

  2

Answer 1

分析：因为O₁、O₂内切，所以O₁、O₂、A三点在同一直线上，连接O₁O₂A，O₁P、O₂C，可以得到△AO₂C∽△AO₁P；从而得到比例线段，由此可求出PC的表达式，再根据切割线定理，联合起来可求出

PB

PC

的值，为了好计算，设PC=x．

解答：解：如图，连接O₁O₂A，O₁P、O₂C．
∵⊙O₁和⊙O₂内切，
∴∠AO₂C=∠AO₁P，△AO₂C和△AO₁P都是等腰三角形，
∴∠O₂AP=∠O₂CA=∠AO₁P=∠APO₁，
∴△AO₂C∽△AO₁P，
∴

O2A

O1A

=

AC

AP

，
设PC=x，则AC=2x，AP=3x；
根据切割线定理：BP²=PC•PA，
∴BP=

3

x，∴

PB

PC

=

3 x

x

=

3

．
故选B．

点评：此题运用了圆内切的有关知识，还用到了切割线定理，弦切角的有关知识．