Question

如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上的一点，MN⊥AB，垂足为N，P，Q分别为

AM

、

BM

上一点（不与端点重合）如果∠MNP=∠MNQ，给出下列结论：
①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④MN²=PN•QN；⑤PM=QM
其中结论正确的序号是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、①③⑤
• D、④⑤

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：利用等角的余角相等得到①对．利用三角形内角和定理得②错，利用垂径定理，同弧所对的圆周角相等得③对；利用三角形相似得④对，⑤错．

解答：解：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，
如图∵MN⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
则∠1=∠2，故①正确；
∵AB是⊙O的直径，MN⊥AB，

AM

=

DA

，
∵∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
∴P，C关于AB对称，
则

PA

=

AC

，

PD

=

MC

，
∴∠Q=∠PMN，故③正确；
∵∠P+∠PMN＜180°，∠Q=∠PMN，
∴∠P+∠Q＜180°，
故②错误；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ；
故④正确，⑤错误．
故选B．

点评：此题为圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．