Question

如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．

请解答下列问题：

1.过A，B两点的直线解析式是      ▲       

2.当t﹦4时，点P的坐标为    ▲    ；当t ﹦    ▲     ，点P与点E重合；

3.① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？

② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 

1.；………4分

2.（0,），；……4分（各2分）

3.①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）

          ∵,,∠∠90°

         ∴△≌△，∴﹒

又∵,∠60°,∴

         而，∴,

         由得  ；…………………1分

         当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；

         当点P在线段上时，

过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）

         ∵,∴,∴

         ∴， 又∵

         在Rt△中，

         即，解得．…………………………………………………1分

②存在﹒理由如下：

         ∵，∴,，

将△绕点顺时针方向旋转90°，得到

△（如图3）

         ∵⊥，∴点在直线上，

         C点坐标为（，－1）

         过作∥，交于点Q,

则△∽△

         由，可得Q的坐标为（－，）………………………1分

根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．……1分

解析:（1）考查了待定系数法求一次函数；

（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；

（3）①此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．

②当t﹦2时，可求的点P的坐标，即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．