Question

阅读材料：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半．
如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为
（3，0）和（0，3

3

）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，

3

，2（单位长度/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以

3

3

（单位长度/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是

y=-

3

x+3

3

；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为

（0，

3

）

；当t=

9

2

，点P与点E重合；
（3）作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？

Answer 1

分析：（1）考查了待定系数法求一次函数；
（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；
（3）此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．

解答：解：（1）设直线AB的解析式是y=ax+b（a≠0）．则

0=3a+b 3 3 =b

，
解得，

a=- 3 b=3 3

，
故直线AB的解析式为：y=-

3

x+3

3

；（4分）

（2）∵A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3

3

），
∴AO=3，OB=3

3

，
∴t_AO=3÷1=3（秒），t_OB=4-3=1（秒），
∴P（0，

3

）；
根据题意知，点P与点E在OB上重合，则

OE

3 3

=

OA

1

+

OE

3

，即

OE

3 3

=3+

OE

3

，
解得，OE=

3 3

2

，
∴t=

3 3

2

÷

3

3

=

9

2

，即t=

9

2

；（4分）（各2分）

（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP（SAS），∴OP=PG，
又∵OE=FG=

3

3

t，∠A=60°，∴AG=FGtan60°=

1

3

t；
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=

2

3

t，
由3-t=

2

3

t，得
t=

9

5

；（1分）
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段BA上时，
过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2），则四边形PMEH是矩形，
∴PM=EH．
∵四边形PEP'F是菱形，
∴EH=FH．
∵OE=

3

3

t，∴BE=3

3

-

3

3

t，∴EF=BEtan60°=3-

t

3

∴MP=EH=

1

2

EF=

9-t

6

，又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•

1

2

=

9-t

6

，解得t=

45

7

．（1分）

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了菱形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，解题的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一性．