Question

如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于M，AD交CE于N，AD、BE交点O．求证：
（1）AD=BE；
（2）BM=AN；  
（3）△MNC为等边三角形； 
（4）MN∥BD；  
（5）∠BOD=120° 
（6）CO平分∠BOD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE；
（2）由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN=BM；
（3）由△ACN≌△BCM得到CN=BM，加上∠MCN=60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形；
（4）由△CMN为等边三角形得到∠CMN=60°，所以∠CMN=∠BCM，于是根据平行线的判定即可得到MN∥BC；
（5）根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，则∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD=120°；
（6）作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ=CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CO平分∠BOD．

解答：证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，

CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，

∠ACN=∠BCM CA=CB ∠CAN=∠CBM

，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM；
（3）∵△ACN≌△BCM，
∴CN=BM，
而∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形；
（4）∵△CMN为等边三角形；
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠BCM，
∴MN∥BC；
（5）∵∠CAD+∠CDA=60°，
而∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE+∠CDA=60°，
∴∠BOD=120°；
（6）作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，
∵△ACD≌△BCE，
∴CQ=CH，
∴CO平分∠BOD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．