Question

18．抛物线y=1-x²与y轴交于点A，经过点B（0，-1）作y轴的垂线交上述抛物线于点C，D，点T是线段CD上一点，横坐标为t，连接AT交x轴于点N，点M是上述抛物线上一动点（M不与点A重合且在CD的上方），其横坐标为m，延长MN至点G，使NM=NG．
（1）用m，t表示点G 的坐标；（图1供参考）
（2）设以点T为顶点的另一条抛物线恰好经过点G，M，且点M到CD的距离HM=0.25，说明点G是否在抛物线y=1-x²上，并求MT的长度．（图2供参考）

Answer 1

分析 （1）过点M作ME⊥x轴于E，过点G作GF⊥x轴于F，过点T作TH⊥x轴于H，求出ME=m²-1，根据△ENM≌△FNG得出GF=ME=m²-1，证出△TNH≌△ANO，HN=ON，得出点N的坐标为（$\frac{1}{2}$t，0），EN=FN=$\frac{1}{2}$t-m，求出OF=t-m，即可得出点G 的坐标；
（2）设另一条抛物线的解析式为y=a（x-t）²-1，根据抛物线过点M得出抛物线解析式为y=$\frac{2-{m}^{2}}{（m-t）^{2}}$•（x-t）²-1，根据x=t-m时，y=m²-1，得出点G在抛物线上，根据MH=0.25，得出m²-1=0.75，求出点M、点G的坐标，根据点G是在抛物线y=1-x²上，得出$\frac{3}{4}$=1-（t+$\frac{\sqrt{7}}{2}$）²，求出t，再求出TH=$\frac{1}{2}$，最后根据MH=$\sqrt{M{H}^{2}+T{H}^{2}}$代入计算即可．

解答 解：（1）如图1，过点M作ME⊥x轴于E，过点G作GF⊥x轴于F，过点T作TH⊥x轴于H，
∵点M的坐标是（m，1-m²），
∴ME=m²-1，
在△ENM和△FNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNE=∠GNF}\\{∠MEN=∠GFN}\\{MN=GN}\end{array}\right.$，
∴△ENM≌△FNG（AAS），
∴GF=ME=m²-1，
∵点T的坐标为（t，1），点A的坐标为（0，1），
∴TH=AO，
在△TNH和△ANO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANO=∠TNH}\\{∠AON=∠THN}\\{TH=AO}\end{array}\right.$，
∴△TNH≌△ANO，
∴HN=ON，
∴点N的坐标为（$\frac{1}{2}$t，0），
∴EN=$\frac{1}{2}$t-m，
∴FN=$\frac{1}{2}$t-m，
∴OF=$\frac{1}{2}$t-m+$\frac{1}{2}$t=t-m，
∴点G 的坐标（t-m，m²-1）；

（2）如图2，设另一条抛物线的解析式为y=a（x-t）²-1，
∵抛物线过点M，
∴1-m²=a（m-t）²-1，
∴a=$\frac{2-{m}^{2}}{（m-t）^{2}}$，
∴抛物线解析式为：y=$\frac{2-{m}^{2}}{（m-t）^{2}}$•（x-t）²-1，
∵当x=t-m时，
y=$\frac{2-{m}^{2}}{（m-t）^{2}}$•（t-m-t）²-1=m²-1，
∴点G在抛物线上，
∵MH=0.25，
∴MH=1-0.25=0.75，
∴m²-1=0.75，
∴m₁=$\frac{\sqrt{7}}{2}$（舍去），m₂=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴点M的坐标为（-$\frac{\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
点G的坐标为（t+$\frac{\sqrt{7}}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∵点G是在抛物线y=1-x²上，
∴$\frac{3}{4}$=1-（t+$\frac{\sqrt{7}}{2}$）²，
t₁=$\frac{1-\sqrt{7}}{2}$，t₂=$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$（舍去）
∴TH=t-m=$\frac{1-\sqrt{7}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴MH=$\sqrt{M{H}^{2}+T{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，关键是根据题意作出辅助线，注意把不合题意的解舍去．